Description

定义线图为把无向图的边变成点，新图中点与点之间右边当且仅当它们对应的边在原图中有公共点，这样得到的图。

定义弦图为不存在一个长度大于3的纯环，纯环的定义是在环上任取两个不相邻的点，它们之间都没有边，也就是不存在没有弦的环的无向图。

现在给出一棵n个点的树，你可以在上面添加任意多条边（不能重边），要求得到的图的线图是弦图，求加边的方案数。

n<=200000

Solution

画图可以发现，一个无向图的线图是弦图的充要条件就是不存在长度大于3的环（不一定是纯环）

也就是说，我们加边只能加成三角形，并且加的边还不能交叉。

转化后的题意等价于将树上的边分成若干个集合，每个集合要么是单独一条边，要么是两条相邻的边，问方案数。

\(O(n^2)\)的暴力呼之欲出，我们记\(f[i][0/1]\)表示处理完\(i\)的子树，\(i\)向父亲的这条边是否与子树内的边组合了。

转移的时候，我们只需要知道所有儿子中有几个0，也就是有几条边需要我们来分配。

不妨再DP预处理出一个数组\(g[i][0/1]\)，表示一个点下面挂着i条边，要分配集合，i的父亲边是否参与的方案数。

我们考虑每次新加一条边，要么自成集合，要么与之前的某一个组合，有

\(g[i][0]=g[i-1]+g[i-2][0]*(i-1),g[i][1]=g[i-1][0]*i\)

由于只要知道有几个0，这显然可以分治NTT优化，这样就做完了。

时间复杂度\(O(n\log^2 n)\)

Code

以下代码未经测试，完全不能保证正确性。

（惨遭证伪，请勿参考）

#include 
    
     #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)#define N 200005#define M 524288using namespace std;const int mo=998244353;typedef long long LL;int n,m1,fs[N],nt[2*N],dt[2*N];LL f[N][2],g[N];LL ksm(LL k,LL n){    LL s=1;    for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;    return s;}void link(int x,int y){    nt[++m1]=fs[x];    dt[fs[x]=m1]=y;}namespace poly{    int len,st[N],le[N],a[M+1];    int u1[M+1],u2[M+1],l2[M+1],cf[20],wg[M+1],wi[M+1],ny[M+1],bit[M+1];    void init()    {        fo(i,0,18) l2[cf[i]=(1<
     
      >1]>>1)|((i&1)<
      
       =mo)?x-mo:x;}    int dec(int x,int y) {x-=y;return(x<0)?x+mo:x;}    void DFT(int *a,int num)    {        fo(i,0,num-1) if(i
       
        >1;h
        
         <<=1,l>>=1)        {            for(int j=0;j
         
          <<1)) { int *x=a+j,*y=x+h,*w=wi,v; for(int i=0;i
          
           >1; doit(l,mid),doit(mid+1,r); int num=cf[l2[le[l]+le[mid+1]-1]]; prp(num); memset(u1,0,4*num),memset(u2,0,4*num); fo(i,0,le[l]-1) u1[i]=a[st[l]+i]; fo(i,0,le[mid+1]-1) u2[i]=a[st[mid]+i]; DFT(u1,num),DFT(u2,num); fo(i,0,num-1) u1[i]=(LL)u1[i]*u2[i]%mo; IDFT(u1,num); le[l]+=le[mid+1]-1; fo(i,0,le[l]-1) a[st[l]+i]=u1[i]; }}using namespace poly;void dfs(int k,int fa){ for(int i=fs[k];i;i=nt[i]) { int p=dt[i]; if(p!=fa) dfs(p,k); } len=0; int cnt=0; for(int i=fs[k];i;i=nt[i]) { int p=dt[i]; if(p!=fa) { cnt++; a[st[cnt]=len++]=f[p][1]; a[len++]=f[p][0]; le[cnt]=2; } } if(!cnt) f[k][0]=1; else { doit(1,cnt); f[k][0]=f[k][1]=0; fo(i,0,le[1]-1) { f[k][0]=(f[k][0]+(LL)a[i]*g[i])%mo; if(i) f[k][1]=(f[k][1]+(LL)a[i]*g[i-1]%mo*(LL)i)%mo; } }}int main(){ cin>>n; fo(i,1,n-1) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); link(x,y),link(y,x); } g[0]=1,g[1]=1; fo(i,2,n) g[i]=(g[i-1]+g[i-2]*(i-1))%mo; init(); dfs(1,0); printf("%lld\n",f[1][0]);}